一位藝術(shù)家問他的一位數(shù)學(xué)家朋友：“數(shù)學(xué)家每天都在忙些什么呢？”這位數(shù)學(xué)家決定寫本書來回答。他希望給讀者提供一個嶄新的視角，重新了解和欣賞數(shù)學(xué)的美，告訴大家“邁克爾·喬丹的灌籃如何完美地詮釋了微積分的原理”、“怎樣翻轉(zhuǎn)床墊才能最大化地延長床墊的壽命”、“結(jié)婚之前，到底談多少次戀愛才最合理”……他說，我們的生活中充滿了數(shù)學(xué)，是否能看到它們，取決于你有沒有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛。
這位數(shù)學(xué)家就是美國康奈爾大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)系教授史蒂夫·斯托加茨，而這本書則是今年4月出版的《X的奇幻之旅》。以下摘自此書部分內(nèi)容分享，看看數(shù)學(xué)如何無處不在。
算一算：股票是賠還是賺？老婆太小還是太老？
算術(shù)是不斷尋找更全面、更完美的數(shù)字的過程。如果我們只滿足于數(shù)數(shù)，滿足于加法和乘法運算，那么自然數(shù)，也就是1、2、3……已足夠用了。但是，聰明的人類絕不會滿足于此。于是有了“零”,又有了“負(fù)數(shù)”、“分?jǐn)?shù)”、“小數(shù)”和“百分?jǐn)?shù)”……而“代數(shù)”更是一個令很多人頭痛不已的科目：復(fù)雜的符號、定義、解法，通通混在一起，令人頭暈?zāi)垦?、無所適從。但是，它們的本質(zhì)其實都很簡單，它們之所以會出現(xiàn)，就是因為我們在日常生活中常常不自覺地使用到。
就算是一種很特殊的公式--恒等式，在生活中也經(jīng)常被用到。比如你可以快速地心算出48的平方數(shù)--你只要先計算50的平方數(shù)，也就是2500,然后算出50和你所要計算的數(shù)字的差，用這個差乘以100.再用2500減去這個乘積就可以了。這樣要算48的平方數(shù)，就用50減去48等于2,再用2500減去200,即得出2300.這里就用到了恒等式：
?。?0＋X）2=2500＋100X＋X2
任何投資股市的人也都可能會用到恒等式。假設(shè)某一年間股市低迷，你的投資組合慘痛地縮水50%,然后第二年股市反彈，你的投資組合又漲了50%,那么你最終是賺了還是賠了呢？答案是，最終你的投資組合和兩年前的初始價值相比仍然賠掉了25%.原因就在于，第一年你的投資組合跌了1/2,年末價值是初始值乘以0.5.第二年股價又上升了50%,所以第二年年末的最終價值等于第一年年末價值乘以1.5.最終，你的投資組合的價值是初始值乘以0.5,再乘以1.5,也就是初始值的0.75.事實上，如果你的投資組合在兩個相鄰的年份中一賠一賺，那么不管你是先賠再賺還是先賺再賠，只要賺和賠的比率數(shù)值一樣，最后算算凈值，你一定還是賠錢的。因為我們有如下這樣一個恒等式：
?。?－X（1＋X）=1－X2
不過，代數(shù)這些公式有時也是武斷和沒有道理的。比如，有種觀點認(rèn)為，情侶之間的年齡差距不應(yīng)該過大。到底年齡差距多大算是過大呢？有網(wǎng)站竟給出了這樣一個“魔法公式”:如果你的年齡是X,那么你的戀人的年齡必須大于X/2+7.按這種算法，如果一位82歲的老先生想追求一位小于48歲的中年女士，就已經(jīng)是不合適了……只是，姻緣到底合不合適，還得當(dāng)事人說了算吧？
算一算：冷熱水龍頭一起灌滿浴缸需要多長時間？
宇宙萬物的內(nèi)在邏輯，都可以用數(shù)字與數(shù)字之間的關(guān)系來表示。比如因與果、供與求、輸入和輸出、措施和效果。我們應(yīng)該學(xué)習(xí)和訓(xùn)練自己的這種能力，學(xué)會思考和分析數(shù)字與數(shù)字之間的關(guān)系。
比如我們可能都曾遇到過這樣一道很經(jīng)典的應(yīng)用題：如果只開冷水龍頭，灌滿浴缸需要半個小時；如果只開熱水龍頭，灌滿浴缸需要1個小時。問：如果把冷水龍頭和熱水龍頭同時打開，灌滿浴缸需要多長時間？
我們最初聽到這道題，腦袋一定像那個浴缸一樣，混亂一片，摸不著頭緒。
但數(shù)學(xué)家會輕松地解答：冷水龍頭30分鐘能灌滿浴缸，也就是說每分鐘可以灌滿浴缸的1/30;而熱水龍頭要60分鐘才能灌滿浴缸，也就是說，熱水龍頭每分鐘可以灌滿浴缸的1/60.那么，如果把冷水龍頭和熱水龍頭同時打開，每分鐘可以灌滿浴缸的1/20.答案很快便浮出水面，即20分鐘可以灌滿整個浴缸。
這種解法不僅涉及分?jǐn)?shù)，還用到了最小公倍數(shù)的知識。但這道題還有別的更有意思的解法。比如，假設(shè)現(xiàn)在不只是有一個浴缸和兩個水龍頭，我們用一冷一熱兩個水龍頭分別給幾個浴缸灌水，60分鐘以后，熱水龍頭正好灌滿了1個浴缸，而冷水龍頭顯然已經(jīng)灌滿了2個浴缸。也就是說，兩個水龍頭同時打開，60分鐘共計灌滿了3個浴缸。那么灌滿一個浴缸需要多長時間呢？當(dāng)然是60分鐘的1/3,也就是20分鐘。
這道題再延展開去，可能又出現(xiàn)這樣一道題：一位老奶奶要過馬路，如果無人幫助，她需要耗時60秒鐘；而你單獨過馬路只要30秒鐘，如果要你去攙扶老奶奶一起過馬路，需要多長時間呢？這個題目的答案是45秒鐘。
這個問題與浴缸的問題看上去很相似，但它們又有本質(zhì)的區(qū)別：在浴缸問題中，兩個水龍頭雖然同時在放水，但灌水速度完全不受對方影響；而你和老奶奶卻是互相影響著對方的。
我們通常會因為直覺自動開啟了“模式識別”的功能，對這兩道題給出同樣的答案，但顯然這個“模式”是靠不住的，因為我們的潛意識通常沒有那么敏銳，無法第一時間發(fā)現(xiàn)其中那個重要區(qū)別。
很多應(yīng)用題的問法中都故意埋藏了一些文字陷阱，如果你憑直覺回答，就會掉入這些陷阱。比如這樣一道題目：3個人可以在3小時內(nèi)漆完3段籬笆，那么1個人漆完1段籬笆需要幾個小時呢？很多人可能會脫口而出：“1個小時。”而正確答案是“3個小時”.
這道題因為讀起來跟順口溜似的，很容易地在你的腦海中建立起了一個鼓點般的韻律，這種條件和問題的“平行”結(jié)構(gòu)使得人們很容易給出一個在語言音律學(xué)上感覺正確、但是數(shù)學(xué)計算上卻完全錯誤的結(jié)論。
能不被表象所迷惑，冷靜客觀地審題，才是答對本題的關(guān)鍵。這種能力其實就可以通過數(shù)學(xué)課反復(fù)訓(xùn)練而來。
算一算：如何翻轉(zhuǎn)才能使床墊磨損率最??？
著名物理學(xué)家理查德·費曼有一則逸事：他在入伍體檢時，需要通過精神科醫(yī)生的檢查。當(dāng)醫(yī)生讓費曼把手伸出來給他看，費曼立刻伸出的雙手，是一只手手掌朝上，另一只手手背朝上。醫(yī)生說：“不是這樣，把手翻過來。”費曼聞聲又把雙手都翻了過來，還是一只手手掌朝上，另一只手手背朝上。這顯然是個惡作劇。但只有懂得“群論”的理科生才能體會其中的幽默。
“群論”是指針對一些數(shù)學(xué)行為的集合展開的討論。其實你可能經(jīng)常這么做--因為它討論的是科學(xué)和藝術(shù)的一個共同的主題：對于“對稱”的永恒追求與熱愛。更準(zhǔn)確地說，“群論”討論的是這樣一個問題：在一定限制條件下，有多少種方式可以轉(zhuǎn)化一個形狀，但這個形狀的本質(zhì)卻保持不變？這些轉(zhuǎn)化的方式，就叫做這個形狀的“對稱性”.這些轉(zhuǎn)化方式的集合形成一個“群”后，“群”的性質(zhì)便定義了這個形狀的最本質(zhì)特征。
美國的一位科普作家布萊恩·海斯在《臥室中的群論》一書中就是利用群論的方法，討論關(guān)于如何定期翻轉(zhuǎn)床墊才是最佳的？怎么翻轉(zhuǎn)才能讓床墊的磨損最均勻呢？
床墊制造商會建議顧客定期翻轉(zhuǎn)床墊，以使床墊的磨損更加均勻，這能延長床墊使用壽命。但對于一個床墊來說，我們只可以通過一些轉(zhuǎn)化方式，改變床墊在空間中的方向，最終這些轉(zhuǎn)化仍然必須保持床墊的形狀不變。有了這些條件，便形成了一個有規(guī)則和規(guī)律的“群”.
事實上，只有4種方式是符合上述條件的：第一種方式是什么也不做。雖然它對延長床墊的壽命毫無幫助，但我們?nèi)匀槐仨毎阉曌鬟@個“群”的一個元素。這種什么都不做的轉(zhuǎn)化方式就像“加法中的0”或“乘法中的1”一樣重要，數(shù)學(xué)家們稱它為“單位元素”,符號為I.另外3種翻轉(zhuǎn)床墊的方式還包括：“水平翻轉(zhuǎn)”、“豎直翻轉(zhuǎn)”以及保持床墊正面朝上，把它旋轉(zhuǎn)半圈，讓床頭變成床尾、床尾變成床頭的“旋轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)”.
這4種轉(zhuǎn)化方式之間的關(guān)系，反映出床墊這個物體的對稱性質(zhì)。注意，在這個“群”中，任何兩種轉(zhuǎn)化方式的先后順序都可以互相交換，轉(zhuǎn)化的結(jié)果卻保持不變，這其實也是“加法交換率”的一種更廣義的形式。
那么，到底怎樣翻轉(zhuǎn)床墊才能使磨損最為均勻？答案是，只要周期性地調(diào)整床墊的狀態(tài)，讓床墊處于這4種狀態(tài)的時間相等就可以了。
但這里用到的“群論”的魅力在于，它把很多外表看來毫無聯(lián)系的事物的本質(zhì)挖掘出來，讓我們知道這些風(fēng)馬牛不相及的事情其實具有相同的抽象本質(zhì)。比如，床墊的翻轉(zhuǎn)、一組電器開關(guān)狀態(tài)的變化邏輯，以及水分子的對稱性，其實都可以用上面的這個“群”來表示。
當(dāng)然，我如此舉例說明，只是想說數(shù)學(xué)在我們的生活中無處不在，但如果你覺得用“群論”的方法來解決床墊問題，未免太令人頭暈了，也可以回歸一個簡單的真理：如果有什么數(shù)學(xué)問題或者事情讓你感到煩惱，最好的解決方法就是先放下它，倒頭大睡一場再說。
算一算：結(jié)婚前，你談幾場戀愛才合適？
在數(shù)學(xué)中，有些數(shù)字特別有名，它們有自己專屬的符號。比如圓周率π，π這個數(shù)字寫成小數(shù)的話就是3.14159……此外，還有比較知名的就是虛數(shù)i、代表指數(shù)增長的e,等等。
以e為例。這個世界上，幾乎你能想到的地方以及你想不到的地方，全都有e的身影。e不僅可以用來描述核能源的鏈?zhǔn)椒磻?yīng)和人口爆炸，還能告訴你結(jié)婚之前交往多少個女友（男友）最合適。
e的數(shù)值是2.71828……它是一個無限數(shù)列的和。為了給大家一個直觀印象，我們先來看看e的應(yīng)用。假設(shè)你把1000美元的本金存入銀行，銀行慷慨地承諾給你100%的年利息，每年復(fù)利一次。一年以后，你的賬戶里已經(jīng)有2000美元的資金了。如果利率保持不變的話，你要求改為每半年復(fù)利一次--6個月之后，銀行便付給你50%的利息--那么一年后，你的1000美元的本金就能變成2250美元。與每年復(fù)利一次的情況相比，每半年復(fù)利一次可以讓你一年多賺250美元。如果你繼續(xù)要求更改復(fù)利頻率，比如每天復(fù)利一次、每秒復(fù)利一次……你是不是就發(fā)財了呢？結(jié)果是你也許會多了一些收益，但其實也多不了太多，在連續(xù)復(fù)利的情況下，你的收益數(shù)字正好等于1000美元乘以e--這就是一個典型的微積分方程式。
當(dāng)我們計算很多微小事件帶來的總體變化的時候，e的身影往往就會出現(xiàn)。比如在考慮世界人口的增長問題時。比如我們想針對時間上或者空間上的位置來計算我們的婚姻--結(jié)婚之前，談幾場戀愛最合適的時候。
從時間上來計算“你何時能遇到真愛”的方法是這樣的：首先，我們假設(shè)你知道你的一生中一共可以遇見多少位潛在的人生伴侶。這個數(shù)字具體是多少并不重要，重要的是，第一，你事先知道這個數(shù)字；第二，這個數(shù)字不會太小。此外，我們還要假設(shè)，如果你能同時遇見你所有的潛在人生伴侶，那么你可以立刻明確地將這些人進(jìn)行排序--但人生的悲劇就在于，沒有人可以同時遇見自己所有的潛在人生伴侶，我們總是以一種完全隨機(jī)的順序，一個一個地遇到他們（她們）。所以，我們永遠(yuǎn)不知道，最合適的那個人是否即將出現(xiàn)在下一個街角，還是我們早已經(jīng)遇到過他（她），卻又永遠(yuǎn)地錯過了。
最后，我們假設(shè)你是一個完美主義者：你的目標(biāo)是和你最滿意的那個人，即你的列表上排名第一的那個人結(jié)婚。如果做不到這一點，我們就判定你的婚姻失敗了。哪怕你是和列表上排名第二的那個人結(jié)婚了，你還是一個失敗者。
試問：在這樣的假設(shè)條件下，你有可能找到那個你最滿意的人嗎？如果有可能，怎么做才能讓你成功的機(jī)會最大化呢？
一種比較好的策略是：把你的愛情和生活劃分成上下兩個半場。上半場完全用來積累經(jīng)驗；在下半場中，你才開始認(rèn)真地尋找伴侶。這個策略讓你至少有1/4的概率遇到最合適的那個人。為什么呢？首先，最合適的那個人可能在上半場出現(xiàn)，也可能在下半場出現(xiàn)，概率各為50%.同樣，第二合適的那個人出現(xiàn)在上下半場的可能性也各占50%.這種情況下，只要你嚴(yán)格執(zhí)行上述策略，你就一定會和最合適的那個人結(jié)婚。第二合適的人出現(xiàn)在你人生的上半場，而你的人生中只有一個人比他（她）更適合你，這個人就是最適合你的人，只有這個人在下半場出現(xiàn)的時候，你才會決定結(jié)婚，所以在這種情況下，你是一定會成功的--在游戲人生的青春歲月里，遇見一個高質(zhì)量的另一半真是何其幸運！
但這并不是最優(yōu)策略。最優(yōu)策略是上半場的用時比下半場稍微短一些，讓上半場占你整個戀愛時間的1/e,也就是大約37%的時間。根據(jù)我們的模型，這個策略是最優(yōu)的婚戀策略。如果你嚴(yán)格采用這個策略，你和最佳伴侶結(jié)婚的概率是1/e.
當(dāng)然，如果你的最佳伴侶也在玩這種跟e有關(guān)的游戲，那一切可就說不準(zhǔn)了。
